Bokor József és Szabó Zoltán:
Hiperbolikus geometria a rendszerelméletben

A geometria a matematikai kutatások egyik leggazdagabb területe. A téma vizuális vonatkozásai természetessé és intuitívvá teszik a felfedezést és a kísérletezést. Ugyanakkor a geometriai minták és összefüggések magyarázatára kidolgozott absztrakciók rendkívül erőteljessé és a legkülönfélébb helyzetekben alkalmazhatóvá teszik a geometriai megközelítést. Az euklideszi geometria számos olyan fogalmat tartalmaz, mint a pont, egyenes, incidencia, párhuzamosság, szög, pontok közötti távolság, szakaszok és szögek egybevágósága. Az ötödik posztulátumot már a kezdetektől kevésbé nyilvánvalónak látták, mint a többit, amit a több mint kétezer éves lenyűgöző matematikai történelem során a geométerek vagy más axiómák alapján próbálták bizonyítani, vagy valami nyilvánvalóbbra cserélni. A 19. században a Bolyai-Lobacsevszkij-geometria, mint a nem-euklideszi geometriák első példányának fejlődése nagy hatással volt a matematikai gondolkodás fejlődésére. A nem-euklideszi geometriáról kiderült, hogy több, mint pusztán logikai érdekesség, és számos alapvető jellemzője továbbra is fontos szerepet játszik a matematika számos ágában és alkalmazásaiban.

A derékszögű koordináták bevezetése forradalmasította a matematikát azáltal, hogy megteremtette az első szisztematikus kapcsolatot az euklideszi geometria és az algebra között, ami megvilágosító geometriai értelmezéseket ad a matematika sok más ágához. Felix Klein az 1800-as évek végén a csoportelméletet javasolta a geometriai konstrukciók megfogalmazásának és megértésének eszközeként.

Munkánk fő célja, hogy rávilágítson arra a mély kapcsolatra, amely a geometria, az algebra és az irányításelmélet látszólag eltérő területei között létezik. A kleini program célja megteremti a kapcsolatot a geometria és a csoportelmélet között; Descartes adja a szótárat a geometriai entitások és az algebrai entitások között, míg a különböző reprezentációk és homomorfizmus révén az absztrakt csoportelméleti tények algebrai (lineáris algebrai) megfogalmazást kapnak, amely utat nyit a mérnöki alkalmazások felé.

Ami a rendszermodellezést illeti, az egyes véges Blaschke-szorzatok által meghatározott hiperbolikus távolság központi szerepet játszik a nem szabványos rendszer-reprezentációkat, például általánosított ortogonális bázisfüggvényeket vagy újabban racionális waveleteket használó modellezési technikákban. Ezekben a módszerekben a hiperbolikus-geometriai eredmények alapján robusztus báziskiválasztó (póluskiválasztás) algoritmust fejlesztettünk ki.

A robusztus irányítás időtartománybeli megközelítésével kapcsolatban egy kvadratikus elválasztó módszerre koncentrálunk, és szemléltetjük annak hiperbolikus geometriai gyökereit. Ebből a szempontból a fő modell a hiperbolikus metrikával felruházott projektív mátrixtér. Ez a keret lehetővé teszi, hogy az indefinit tér megközelítést (Grassmann-féle nézet, Kerin-tér szemlélet) a hiperbolikus szemlélethez kapcsoljuk. Itt a központi objektum a (operátor)mátrix Möbius transzformáció és tartománya. Ennek a transzformációnak a tulajdonságai, azaz a geometria, feltárja a robusztus szabályozási problémák szerkezetét. Alapvető észrevétel, hogy a kvadratikus performancia problémák megoldásait, például a robusztus irányítás tervezést, az egységgömb elemei paraméterezik. A stabil irányítások kombinálásának megfelelő csoport hatások az egységgömb hiperbolikus mozgásai. Ezen operátorok explicit paraméterezését és a megfelelő indukált műveletet szemléltetjük ezen a paramétertéren.

Az euklideszi és nem-euklideszi világok kiindulópontjaként a legalapvetőbb geometriák a projektív és az affin geometriák. A visszacsatolási stabilitás az ilyen geometriákhoz kapcsolódik. A kleini projekt nyomán azonosítjuk a megfelelő matematikai objektumokat és az ezekhez kapcsolódó csoportokat, amelyek a stabilitás és a stabilizáló szabályozók fogalmához kapcsolódnak. Míg a hagyományos geometriai elmélet középpontjában a differenciálgeometrián alapuló lokális szemlélet áll, a globális megközelítés középpontjában egy bemenet-kimenet leírásáll, amely a geometria kleini megközelítésén alapul. A transzformációs csoportok, amelyek egy adott globális tulajdonságot, például stabilitást invariánsan hagynak, alapvető szerepet töltenek be. A módszer olyan eszközöket biztosít a szabályozók manipulálásához, amelyek megőrzik az adott tulajdonságot.

Az előadókról

Dr. Bokor József Széchenyi-díjas magyar villamosmérnök, egyetemi tanár, 2001 óta a Magyar Tudományos Akadémia rendes tagja, 2017. májusától az egyik alelnöke. Kutatási területe a lineáris és nemlineáris, többváltozós dinamikus rendszerek elmélete és automatizálása. 1995-től az MTA Számítástechnikai és Automatizálási Intézet (SZTAKI) igazgatóhelyettese, majd 2008-tól tudományos igazgatója. Számos rangos kitüntetés birtokosa, melyek közült itt most a Magyar Érdemrend Középkeresztjét és a Széchenyi Professzori Ösztöndíjat emelnénk ki.

További információk:
sztaki.hun-ren.hu
wikipedia.org

Dr. Szabó Zoltán a SZTAKI Dinamikus Rendszerek Elmélete csoport vezetője. Kutatási területei között szerepel a rendszer és szabályozási célú identifikáció, szürkedoboz paraméterbecslési eljárások. A kutatások főleg a robusztus irányítás, tervezési elvek és módszerek köré összpontosulnak, kiegészülve a hibadetektálás és a kapcsolódó rekonfigurálható irányítások témakörével. Ezen belül kiemelt helyet kaptak az úgynevezett geometriai elvekre épülő szabályozástervezési eljárások. Új kutatási terület az adatvezérelt (data-driven) módszerek kidolgozása és alkalmazása.

További információk:
Sztaki.hun-ren.hu